代数不等式2：一些简单不等式的证明

例1

$x,y,z\in \mathbb{R}^+$ ，求证： $(\sum_{cyc}xy)(\sum_{cyc} \frac{1}{(x+y)^2}) \ge \frac{9}{4}$

证明：无脑展开，把分母项去掉。

$$ \begin{aligned} & 4(\sum_{cyc}yz)(\sum_{cyc} {(x+y)^2(x+z) ^2}) -9\Pi_{cyc}(x+y)^2 \\ =& \sum_{cyc}yz(y-z)^2(4y^2+7yz+4z^2)+\frac{xyz}{x+y+z}\sum_{cyc}(y-z)^2(2yz+(y+z-x)^2) \\ \ge & 0 \end{aligned} $$

例2

$x,y,z\in \mathbb{R}^+$ ，且 $\sum_{cyc}xy =1 $ ，求证： $\sum_{cyc}\frac{1+x^2y^2}{(x+y)^2} \ge \frac{5}{2}$

证明：无脑展开，配平.

$$ \begin{aligned} & \sum_{cyc}\frac{1+x^2y^2}{(x+y)^2} - \frac{5}{2} \\ =& \frac{\Pi_{cyc}(x-y)^2}{2\Pi_{cyc}(x+y)^2} + \sum_{cyc}\frac{( x(y+z)(y^2+z^2-2x^2) +(y-z)^2(x^2+yz))^2 }{6\Pi_{cyc}(x+y)^2}\\ \ge & 0 \end{aligned} $$

例3

$a,b,c,d\in \mathbb{R}^+$ ，且 $\sum_{cyc}a =4 $ 。求证： $\sum_{cyc}a^2(b+c) + 8abcd \le 16$

证明： $a^2(b+c)$ 次数为3， $abcd$ 次数为4，先将次数配齐。考虑到

$$(\sum_{cyc}a) (\sum_{cyc} bcd) \ge(4\sum_{cyc}\sqrt{abcd})^2=16abcd $$

即 $ \sum_{cyc} bcd \ge4abcd $ 。若能证明 $\sum_{cyc}a^2(b+c) +2\sum_{cyc}bcd \le 16$ ，即可得证。因为

$$ \begin{aligned} & \frac{(a+b+c+d)^2}{4} -\sum_{cyc}a^2(b+c) -2\sum_{cyc}bcd \\ = & \sum_{cyc}\frac{a}{4}(a-b-d+d)^2 \ge 0 \end{aligned} $$

证毕

在处理上述不等式时，还有一种最简单最暴力的算法，就是努力构造平方项。先构造以 $a $ 为变量的平方项，不断的提取公因数不断的配平，再分别对其他变量构造平方项。这个方法可以应用在绝大部分例题中，不过缺点就是计算量大。我之前在处理不等式的问题中，如果走投无路，便会使用这一方法。