代数不等式3：算术平均-几何平均不等式

继续来看一个非常优美的不等式： $\frac{1}{2}(a+b) \geq \sqrt{ab}$ ，其中 $a,b$ 是两个正实数。我们称 $\frac{1}{2}(a+b)$ 为算术平均，而 $ \sqrt{ab}$ 为几何平均。其实很容易理解，算术平均可以看作是矩形两条边长的均值，几何平均就是面积的根号。最早使用算术平均和几何平均概念的有可能是毕达哥拉斯学派。

我们把上式拓展成多个变量的形式：

$$ \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \geq (\Pi_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}} $$

这就是算术平均-几何平均不等式。算术平均-几何平均不等式可以由柯西不等式优雅的证明，我这里再提供一种其他的证明方式。

由柯西不等式，

$$\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \geq (\frac{\sum_{i=1}^n\sqrt{ x_i}}{n})^2$$

令

$$ \begin{aligned} M_r(x) &= (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r)^{\frac{1}{r}} \\ &=\exp(\frac{1}{r}\ln (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r) ) \\ &=\exp( \frac{1}{r}\ln (1 + r \sum_{i=1}^n \frac{\ln x_i}{n}+o(r^2) ) ) \end{aligned} $$

$r\rightarrow0$ 时， $M_r(x) \rightarrow \exp(\sum_{i=1}^n(\frac{\ln x_i}{n})) = \Pi_{i=1}^nx_i^{\frac{1}{n}}$ 。所以

$$\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} =M_1 (x) \geq M_{r\rightarrow0}(x) = (\Pi_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}} $$