代数不等式4：三角变换

三角变换是指把一些变量等价代换为三角函数的形式。

例1

$a,b,c\in \mathbb{R}$ ，求证： $\Pi_{cyc}(a^2+2) \geq 9 \sum_{cyc}ab$

证明：

令 $a=\sqrt{2}\tan A$ ， $b=\sqrt{2}\tan B$ ， $c=\sqrt{2}\tan C$ ，其中 $A,B,C \in(0,\frac{\pi}{2})$ ，即需证

$$\frac{4}{9}\geq (\Pi_{cyc}\cos A) (\sum_{cyc} \cos A \sin B \sin C) \\ =\cos A\cos B\cos C(\cos A\cos B\cos C-\cos(A+B+C)) $$

令 $\theta = \frac{A+B+C}{3}$ ，则

$$\cos A\cos B\cos C \leq (\frac{\cos A+\cos B +\cos C}{3})^3 \leq \cos^3\theta $$

即证 $\frac{4}{9} \geq \cos^3\theta(\cos^3\theta-\cos3\theta)$ 。又因 $\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta -3 \cos\theta$ ，即证 $\frac{4}{27} \geq \cos^3\theta(\cos\theta-\cos^3\theta)$ 。又

$$ \begin{aligned} &\cos^3\theta(\cos\theta-\cos^3\theta) \\&= \cos^4\theta - \cos^6\theta \\ &=4 \frac{\cos^2\theta}{2} \frac{\cos^2\theta}{2} (1-\cos^2\theta) \\ &\leq \frac{4}{27}(\frac{\cos^2\theta}{2}+\frac{\cos^2\theta}{2}+1-\cos^2\theta)^3 \\ &=\frac{4}{27} \end{aligned} $$

证毕。

例2

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ ，且 $a+b+c=abc$ 。求证： $\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \leq \frac{3}{2}$

证明：

令 $a=\tan A$ ， $b=\tan B$ ， $c=\tan C$ ，其中 $A,B,C \in(0,\frac{\pi}{2})$ 。由等式的性质可知 $A,B,C$ 为三角形的内角。即需证： $\sum_{cyc}\cos A \leq \frac{3}{2}$ 。显然成立。