矩阵的秩：MA=BM，B、M满秩，A一定满秩吗？

科研过程中遇到了一个如下的问题：

已知矩阵 $\mathbf{M}$ 是 $m\times n$ 的满秩矩阵（ $m > n$ ）， $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵， $\mathbf{B}$ 是 $m$ 阶满秩方阵，且满足 $\mathbf{MA} = \mathbf{BM}$ ，问： $\mathbf{A}$ 一定满秩吗？

答案： $\mathbf{A}$ 一定满秩。

直观理解：矩阵 $\mathbf{BM}$ 可以覆盖 $\mathbf{M}$ 的像空间中的所有向量。由于 $\mathbf{MA}$ 也必须能够映射到同样的 $n$ 维子空间，这意味着 $\mathbf{A}$ 必须在 $\mathbb{R}^n$ 上保持该映射的完整性。如果 $\mathbf{A}$ 不是满秩矩阵，那么它会降低 $\mathbb{R}^n$ 上的维度，导致 $\mathbf{MA}$ 的像空间的维数小于 $n$ ，这与 $\mathbf{BM}$ 的像空间（即 $\mathbf{M}$ 的像空间，维度为 $n$ ）相矛盾。因此， $\mathbf{A}$ 必须是满秩的。

数学证明：

$$ r(\mathbf{MA})=r(\mathbf{BM})=r(\mathbf{M})=n $$ $$ r(\mathbf{MA})\leq\min\{r(\mathbf{M}), r(\mathbf{A})\}=\min \{n,r(\mathbf{A})\} $$

即 $n\leq \min\{n,r(\mathbf{A})\}$ ， $\therefore r(\mathbf{A})=n$ 。